45分钟阶段测试(十二)

　45 分钟阶段测试(十 十二 二) (范围：§9.5～§9.8) 一、选择题 1．若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24 ＋y 23 ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为(

　) A．2

　B．3

　C．6

　D．8 答案 C 解析 设 P(x 0 ，y 0 )，则 x204 ＋y 2 03 ＝1， 即 y 2 0 ＝3－ 3x204，又∵F(－1,0)． ∴OP→·FP→ ＝x0 ·(x 0 ＋1)＋y 2 0 ＝ 14 x20 ＋x 0 ＋3 ＝ 14 (x 0 ＋2)2 ＋2，又 x 0 ∈[－2,2]， ∴OP→·FP→ ∈[2,6]，∴(OP →·FP→ )max ＝6. 2．设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(

　) A. 2

　 B. 3 C.3＋12

　 D.5＋12 答案 D 解析 不妨设双曲线方程为 x2a 2 －y 2b 2 ＝1 (a>0，b>0)，焦点 F(c,0)，虚轴端点 B(0，b)，则渐近线方程为 y＝±ba x，直线 BF 的斜率 k＝b－00－c ＝－bc ，∴ba ·(－bc )＝－1，即 b2 ＝ac，∴c 2 －a 2 ＝ac， 两边同时除以 a 2 ，可得 e 2 －e－1＝0，解得 e＝5＋12(负值舍去)． 3．已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y 0 )．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|等于(

　) A．2 2

　 B．2 3 C．4

　 D．2 5 答案 B 解析 设抛物线方程为 y 2 ＝2px，则点 M(2，±2 p)．

　∵焦点 p2 ，0 ，点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， ∴ 2－ p22 ＋4p＝9，解得 p＝2(负值舍去)， 故 M(2，±2 2)． ∴|OM|＝ 4＋4×2＝2 3. 4．已知椭圆 C：

　x24 ＋y2 ＝1 的焦点为 F 1 、F 2 ，若点 P 在椭圆上，且满足|PO| 2 ＝|PF 1 |·|PF 2 |(其中 O 为坐标原点)，则称点 P 为“★”点．下列结论正确的是(

　) A．椭圆 C 上的所有点都是“★”点 B．椭圆 C 上仅有有限个点是“★”点 C．椭圆 C 上的所有点都不是“★”点 D．椭圆 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★”点 答案 B 解析 设椭圆 C：x 24 ＋y2 ＝1 上点 P 的坐标为(2cos α，sin α)，由|PO| 2 ＝|PF 1 |·|PF 2 |，可得 4cos 2 α＋sin 2 α＝ 2cos α＋ 3 2 ＋sin 2 α· 2cos α－ 3 2 ＋sin 2 α，整理可得 cos 2 α＝ 12 ，即可得 cos α＝±22，sin α＝±22.由此可得点 P 的坐标为 ± 2，±22，即椭圆 C 上有 4 个点是“★”点． 5．已知抛物线 y 2 ＝2px (p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为(

　) A．x＝1

　 B．x＝－1 C．x＝2

　 D．x＝－2 答案 B 解析 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，因为 A、B 两点在抛物线上，得 y 2 1 ＝2px 1 .① y 2 2 ＝2px 2 ，② ①－②得(y 1 －y 2 )(y 1 ＋y 2 )＝2p(x 1 －x 2 )． 又线段 AB 的中点的纵坐标为 2，即 y 1 ＋y 2 ＝4， 直线 AB 的斜率为 1，故 2p＝4，p＝2， 因此抛物线的准线方程为 x＝－ p2 ＝－1. 二、填空题 6．已知抛物线 y 2 ＝2px (p>0)的准线与圆 x 2 ＋y 2 －6x－7＝0 相切，则 p 的值为________． 答案 2 解析 由 y 2 ＝2px，得准线方程 x＝－ p2 ，圆 x2 ＋y 2 －6x－7＝0 可化为(x－3) 2 ＋y 2 ＝16，由圆心

　到准线的距离等于半径得：3＋ p2 ＝4，∴p＝2. 7．已知 F 1 、F 2 是椭圆 C：

　x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1 (a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1 F 2 的面积为 9，则 b＝________. 答案 3 解析 依题意，有 |PF 1 |＋|PF 2 |＝2a，|PF 1 |·|PF 2 |＝18，|PF 1 | 2 ＋|PF 2 | 2 ＝4c 2 ， 可得 4c 2 ＋36＝4a 2 ， 即 a 2 －c 2 ＝9，故有 b＝3. 8．设双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1 (a>0，b>0)的右顶点为 A，P 为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点 A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线 OP 分别交于 Q、R 两点，其中 O 为坐标原点，则|OP| 2 与|OQ|·|OR|的大小关系为|OP| 2 ________|OQ|·|OR|.(填“>”，“<”或“＝”) 答案 ＝ 解析 设 P(x 0 ，y 0 )，双曲线的渐近线方程是 y＝±ba x，直线 AQ 的方程是 y＝ba (x－a)，直线 AR的方程是 y＝－ ba (x－a)，直线 OP 的方程是 y＝y 0x 0 x，可得 Q abx 0bx 0 －ay 0 ，aby 0bx 0 －ay 0，R abx 0bx 0 ＋ay 0 ，aby 0bx 0 ＋ay 0. 又 x20a 2 －y 2 0b 2 ＝1，可得|OP|2 ＝|OQ|·|OR|. 三、解答题 9．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆 C：x 2 ＋y 2 －4x＋2 2y＝0 的圆心． (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切，求直线 l 的方程． 解 (1)圆 C 方程化为(x－2) 2 ＋(y＋ 2) 2 ＝6， 圆心 C(2，－ 2)，半径 r＝ 6. 设椭圆的方程为 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1 (a>b>0)， 则 4a 2 ＋2b 2 ＝1，1－ ba2 ＝  222⇒  a 2 ＝8，b 2 ＝4.

　所以所求的椭圆方程是 x28 ＋y 24 ＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是 F 1 (－2,0)，F 2 (2,0)，|F 2 C|＝ 2－2 2 ＋0＋ 2 2 ＝ 2< 6. ∴F 2 在 C 内，故过 F 2 没有圆 C 的切线，设 l 的方程为 y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＝0. 点 C(2，－ 2)到直线 l 的距离为 d＝ |2k＋ 2＋2k|1＋k 2， 由 d＝ 6得 |2k＋ 2＋2k|1＋k 2＝ 6. 解得：k＝25或 k＝－ 2， 故 l 的方程为 2x－5y＋2 2＝0 或 2x＋y＋2 2＝0. 10．已知抛物线 y 2 ＝4x 的焦点为 F，直线 l 过点 M(4,0)． (1)若点 F 到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的斜率； (2)设 A，B 为抛物线上两点，且 AB 不垂直于 x 轴，若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值． (1)解 由已知，得 x＝4 不合题意， 设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)， 由已知，得抛物线 C 的焦点坐标为(1,0)， 因为点 F 到直线 l 的距离为 3，所以|3k|1＋k 2 ＝ 3， 解得 k＝±22，所以直线 l 的斜率为±22. (2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x 0 ，y 0 )，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 因为 AB 不垂直于 x 轴，则直线 MN 的斜率为y 0x 0 －4 ， 直线 AB 的斜率为 4－x0y 0， 直线 AB 的方程为 y－y 0 ＝ 4－x0y 0(x－x 0 )， 联立方程 y－y 0 ＝ 4－x0y 0x－x 0 ，y 2 ＝4x， 消去 x 得(1－ x 04 )y2 －y 0 y＋y 20 ＋x 0 (x 0 －4)＝0， 所以 y 1 ＋y 2 ＝4y 04－x 0 ， 因为 N 为 AB 中点，所以 y1 ＋y 22＝y 0 ，

　即2y 04－x 0 ＝y 0 ， 所以 x 0 ＝2，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.

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