45分钟阶段测试(五)

　45 分钟阶段测试( 五) (范围：§4.1～§4.4) 一、选择题 1．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P(x，32)，则 tan α 等于(

　) A. 3

　 B．± 3 C.33

　 D．±33 答案 B 解析 x 2 ＋(32) 2 ＝1，∴x＝±12 ， ∴tan α＝32±12＝± 3. 2．若 cos(3π－x)－3cos(x＋ π2 )＝0，则 tan(x＋π4 )等于(

　) A．－ 12

　B．－2 C. 12

　 D．2 答案 D 解析 ∵cos(3π－x)－3cos(x＋ π2 )＝0， ∴－cos x＋3sin x＝0， ∴tan x＝ 13 ， ∴tan(x＋ π4 )＝1＋tan x1－tan x ＝1＋ 131－ 13＝2，故选 D. 3．函数 f(x)＝sin(2x－ π4 )在区间[0，π2 ]上的最小值为(

　) A．－1

　 B．－22 C.22

　 D．0 答案 B

　解析 ∵x∈[0， π2 ]，∴－π4 ≤2x－π4 ≤3π4， ∴当 2x－ π4 ＝－π4 时， f(x)＝sin(2x－ π4 )有最小值－22. 4．设 ω>0，函数 y＝sin(ωx＋ π3 )＋2 的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是(

　) A. 23

　 B.43

　 C.32

　 D．3 答案 C 解析 由函数向右平移 4π3个单位后与原图象重合， 得 4π3是此函数周期的整数倍． ∴ 2πω ·k＝4π3，∴ω＝ 32 k(k∈Z)， 又 ω>0，∴ω min ＝ 32 . 5．将函数 y＝sin(2x＋ π3 )的图象经过怎样的平移后所得图象关于点(－π12 ，0)中心对称(

　) A．向右平移π12 个单位长度 B．向右平移 π6 个单位长度 C．向左平移π12 个单位长度 D．向左平移 π6 个单位长度 答案 A 解析 设函数 y＝sin(2x＋ π3 )的图象经过平移后所得图象的解析式为 y＝sin[2(x＋φ)＋π3 ]＝sin(2x＋2φ＋ π3 )，由函数 y＝sin(2x＋2φ＋π3 )的图象关于点(－π12 ，0)中心对称得 sin[2(－π12 )＋2φ＋ π3 ]＝0，即 2φ＋π6 ＝kπ，k∈Z，得 φ＝k2 π－π12 ，k∈Z.故 y＝sin[2(x＋φ)＋π3 ]＝sin[2(x－π12 )＋kπ＋ π3 ]＝±sin[2(x－π12 )＋π3 ]，即将函数 y＝sin(2x＋π3 )的图象向右平移π12 个单位长度后所得的图象关于点(－π12 ，0)中心对称，故选 A. 二、填空题

　6．已知 α 为第二象限角，则 cos α· 1＋tan 2 α＋sin α 1＋1tan 2 α ＝________. 答案 0 解析 原式＝cos αsin 2 α＋cos 2 αcos 2 α＋sin αsin 2 α＋cos 2 αsin 2 α＝cos α1|cos α| ＋sin α1|sin α| ，因为 α 是第二象限角，所以 sin α>0，cos α<0，所以 cos α1|cos α| ＋sin α1|sin α| ＝－1＋1＝0，即原式等于0. 7．已知 f(x)＝sin ωx＋ π3 (ω>0)，f π6＝f π3，且 f(x)在区间 π6 ，π3上有最小值，无最大值，则 ω＝________________________________________________________________________. 答案 143 解析 依题意，x＝π6 ＋π32＝ π4 时，y 有最小值， ∴sin π4 ·ω＋π3＝－1，∴ π4 ω＋π3 ＝2kπ＋3π2 (k∈Z)． ∴ω＝8k＋ 143 (k∈Z)，因为 f(x)在区间 π6 ，π3上有最小值，无最大值，所以 π3 －π4 <πω ，即 ω<12，令 k＝0， 得 ω＝ 143. 8．下列命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) ①存在 α 满足 sin α＋cos α＝ 32 ； ②y＝cos( 7π2－3x)是奇函数； ③y＝4sin(2x＋ 5π4)的一个对称中心是(－ 9π8，0)； ④y＝sin(2x－ π4 )的图象可由 y＝sin 2x 的图象向右平移π4 个单位得到． 答案 ②③ 解析 对于①，sin α＋cos α＝ 2sin(α＋ π4 )，其最大值为 2，故不存在 α 满足 sin α＋cos α＝32 ，①错．对于②，y＝cos( 7π2－3x)＝－sin 3x 是奇函数，②正确．对于③，当 x＝－ 9π8时，y＝4sin[2×(－ 98 π)＋5π4]＝4sin(－π)＝0，故③正确．对于④，y＝sin(2x－ π4 )的图象可由 y＝sin 2x的图象向右平移 π8 个单位得到，故④错． 三、解答题

　9．已知函数 f(x)＝1－ 2sin2x－ π4 cos x. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)设 α 是第四象限角，且 tan α＝－ 43 ，求 f(α)的值． 解 (1)函数 f(x)要有意义，需满足 cos x≠0， 解得 x≠ π2 ＋kπ，k∈Z， 即 f(x)的定义域为{x|x≠ π2 ＋kπ，k∈Z}． (2)∵f(x)＝1－ 2sin2x－ π4 cos x ＝1－ 222sin 2x－22cos 2xcos x ＝ 1＋cos 2x－sin 2xcos x ＝ 2cos2 x－2sin xcos xcos x＝2(cos x－sin x)． 由 tan α＝－ 43 得 sin α＝－43 cos α， 又 sin 2 α＋cos 2 α＝1， ∴cos 2 α＝925 . ∵α 是第四象限角， ∴cos α＝ 35 ，sin α＝－45 ， ∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝ 145. 10．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，x∈R，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 g(x)＝f(x＋ π6 )＋f(x－π6 )，求函数 g(x)在区间[0，π2 ]上的值域． 解 (1)由图可知，函数的最大值为 A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得 A＝2，B＝1. 函数的最小正周期为 T＝2×[ 5π12 －(－π12 )]＝π，

　由 2πω ＝π 解得 ω＝2. 由 f(－π12 )＝2sin[2×(－π12 )＋φ]＋1＝－1， 得 sin(φ－ π6 )＝－1， 故 φ－ π6 ＝2kπ－π2 (k∈Z)， 解得 φ＝2kπ－ π3 (k∈Z)， 又因|φ|<π，所以 φ＝－ π3 . 所以 f(x)＝2sin(2x－ π3 )＋1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x－ π3 )＋1， 故 g(x)＝f(x＋ π6 )＋f(x－π6 ) ＝2sin[2(x＋ π6 )－π3 ]＋1＋2sin[2(x－π6 )－π3 ]＋1 ＝2sin 2x＋2sin(2x－ 2π3)＋2 ＝2sin 2x＋2sin 2xcos 2π3－2cos 2xsin 2π3＋2 ＝sin 2x－ 3cos 2x＋2 ＝2sin(2x－ π3 )＋2. 设 t＝2x－ π3 ，因为 x∈[0，π2 ]， 所以 t∈[－ π3 ，2π3]， 故 sin t∈[－32，1]， 所以函数 g(x)在区间[0， π2 ]上的值域是[2－ 3，4]．

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