P74--p76答案,2

　P74.14 证明：

　∵形 四边形 ABCD 是矩形 ∴ 四个内角均为90º º ∵ ∵AF,BE,CE,DF 分别是四个内 角的平分线 ∴∠EBC= ∠ECB=45º º ∴⊿EBC 为等腰直角三角形 ∴∠E=90º º 同理∠ ∠F= ∠EMF= ∠EHF=90º º ∴形 四边形 MFNE 为矩形 ∵ ∵AD=BC， ，∠ ∠E= ∠F=90º º， ，∠ ∠DAF= ∠EBC=45º º ∴⊿DAF ≌⊿CBE （AAS ）

　∴ ∴AF=BE ∵ ∵AM=BM ∴ ∴AF-AM=BE-BM ，即 FM =EM ∴形 四边形 MFNE 是正方形【邻边相等的矩形是正方形】

　5 P74.15 如图，M M 为正方形 D ABCD 边 边 B AB 的中点，E E 是 是 B AB 延长线上的一点， MN⊥DM ，且交 ∠CBE的平分线于 N N ．

　（1 1 ）求证：

　MD=MN ；

　取 取 AD 中点 P ，连接 PM ∵AD=AB M、 、D 为 为 AB、 、AD 点 中 点 ∴AD=AM ∠APM= ∠AMP=45° ∴∠DPM=180°-45°=135° ∵BN 平 分 ∠ ∠CBE ∴∠CBN= ∠NBE=45° ∴∠MBN=135° ∵∠ADM+ ∠DMA=90° ∠ ∠NME+ ∠DMA=90° ∴∠ADM= ∠NME ∴△DPM ≌△MBN ∴ ∴DM=MN

　 6 P74.16 如图，以正方形 D ABCD 的边 D CD 为一边在正方形外作等边 △CDE ，连接 BE ，交正方形的对角线 C AC 于点 F F ，连接 DF ，求D ∠AFD 的度

　数．

　 ∵ 四边形 D ABCD 是正方形．

　∴AB=AD ， ∠BAF=∠DAF ．

　F ∴△ABF 与F △ADF 全等．

　∴∠AFD=∠AFB ．

　∵CB=CE ， ∴∠CBE=∠CEB ．

　∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150° ，

　∴∠CBE=15° ．

　∵∠ACB=45° ，

　∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60° ．

　∴∠AFD=60° ．

　P75.17 证明:(1) ∵∠ADQ=90 度;DP 垂直 AQ. ∴∠DAQ= ∠CDP( 同角的余角相等) 又∵ ∵AD=DC; ∠ADQ= ∠DCP=90 度. ∴⊿ADQ ≌⊿DCP(ASA),DQ=CP.

　(2) ∵DQ=CP( 已证 证);DO=CO; ∠ODQ= ∠OCP=45 度. ∴⊿ODQ ≌⊿OCP(SAS), ∠DOQ= ∠COP. ∴∠COP+ ∠COQ= ∠DOQ+ ∠COQ. 即∠ ∠POQ= ∠COD=90 度.( 正方形对角线互相垂直 直) ∴ ∴OP ⊥OQ.

　 P75.18

　形 在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点，接 连接 PA点 ，分别过点 B 、D 作 作 BE ⊥PA、 、DF ⊥PA ，垂足分别为 E 、F ．

　（ （1 ）如图1 ，请探索 BE 、DF 、EF 这三条

　线段长度具有怎样的数量关系．直接写出结论． （ （2 ）若点 P 在 在 DC 的延长线上（如图2 ），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系，并证明． （ （3 ）若点 P 在 CD 的延长线上呢（如图3 ）？请分别直接写出结论并简要说明理由． 解：（1 ）BE=EF+DF ，

　（2 ）DF=BE+EF ， 证明：

　∵形 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∴AB=AD， ，∠ ∠BAE+ ∠DAF=90° °， ， ∵ ∵BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，

　∴∠AEB= ∠DFA=90° °， ，

　∴∠BAE+ ∠ABE=90° °， ，

　∴∠ABE= ∠DAF ，

　∵ 在△ △ABE 和 和△ △DAF 中：

　， ， ∴△ABE ≌△DAF （AAS ），

　∴BE=AF ，AE=DF ，

　∵AE=AF+EF ， ∴ ∴DF=EB+EF ．

　 （ （3 ）EF=BE+DF ．

　证明：

　∵形 四边形 ABCD 是正方形，

　∴AB=AD， ，∠ ∠BAD=90° °， ，

　∴∠1+ ∠3=90° °， ，

　∵BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，

　∴∠AEB= ∠DFA=90° °， ，

　∴∠2+ ∠3=90° °， ，

　∴∠1= ∠2 ，

　∵ 在△ △ABE 和 和△ △DAF 中：

　， ，

　∴△ABE ≌△DAF （AAS ），

　 ∴BE=AF ，AE=DF （全等三角形对应边相等），

　∵EF=AF+AE ，

　∴ ∴EF=EB+FD （等量代换）

　 0 P76.20 如图，在边长为 3 3 的正方形 D ABCD 中，点 点 E E 是 是 C BC 边上的点， BE=1 ， ∠AEP=90° ，且P EP 交正方形外角的平分线 P CP 于点 P P ，交边 CD于点 F F ，

　 （ （1 ）解：

　∵形 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B= ∠D ， ∵∠AEP=90° ，

　∴∠BAE= ∠FEC ， 在 在 Rt△ △ ABE 中， 中，AE== ， ∵ ∵sin ∠BAE==sin ∠FEC= ， ∴ ∴= ， （ （2 ）证明：在 BA 边上截取 BK=NE ，连接 KE， ， ∵∠B=90° ，BK=BE ， ∴∠BKE=45° ， ∴∠AKE=135° ， ∵ ∵CP 平分外角， ∴∠DCP=45° ， ∴∠ECP=135° ， ∴∠AKE= ∠ECP ， ∵ ∵AB=CB ，BK=BE ， ∴ ∴AB ﹣BK=BC ﹣BE ， 即：AK=EC ， 易得∠ ∠KAE= ∠CEP ，

　∵在 在△ △ AKE 和△ △ ECP 中， 中， ∴△AKE ≌△ECP （ASA ）， ∴ ∴AE=EP ； （ （3 ）答：存在． 作 证明：作 DM ⊥AE 于 于 AB 交于点 M ， 则有：DM ∥EP ，连接 ME 、DP ， ∵在 在△ △ ADM 与△ △ BAE 中， 中， ， ， ∴△ADM ≌△BAE （AAS ）， ∴ ∴MD=AE ， ∵ ∵AE=EP ， ∴ ∴MD=EP ， ∴ ∴MDEP ， ∴形 四边形 DMEP 为平行四边形．

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