研究性学习论文

　学生数学小论文

　 研究性学习：无理数的表示

　 新乡市二中

　王倩雯

　张建伟

　辅导教师

　王欣强

　研究性学习：无理数的表示

　学习了实数我知道了现在数轴叫做实数轴，实数轴上的点和实数一一对应，即数轴任意一点都对应一个实数，而每一个实数也都可以表示成数轴上的一点。可是无理数是无限不循环小数啊，也能表示在数轴上吗？比如象 2 ， 3, 5,... 这样的无理数该如何表示呢？ 课堂老师分小组引导我们根据勾股定理构造直角三角形，竟然做出长 2, 3, 5,... 的线段(如图所示)，真的就用构造图形的方法精确地表示在数轴上了，真实奇妙，这样形如 a ，a 为正整数的无理数就可以用尺规都表示在数轴上了,可以松一口气了。

　但是对于 10 这样的数真的要做出9个直角三角形吗?小组开始又有了新的想法，是啊，如果真的画下去，数再大一点怎么办？那么还会有不同的构造方法吗？我拿起笔，开始新的尝试，立刻一个新的构造在小组中诞生，如图一次构造直角三角形就可以表示 10 ，那么其它形如a ，a 为正整数的无理数呢？也会如此吗？大家更加兴趣昂然， 13 ， 17 ， 20 …大家陆续有了新的发现,这些无理数也可以根据勾股定理一次构造表示，（一下这种构造一次直角三角形就可以表示的构造，我简称完美构造），但是还有好多无理数无法完美够造表达，还会有不同的构造方法吗？可以完美构造任何形如 a ，a 为正整数的无理数，带着这个问题，课后我们小组又开始了新的探索。

　我先总结了完美构造表示 10 ， 13 的关键，关键是根号下的数

　10 能表示为两个整数的平方即：10=1 2 +3 2 ，而 13 能表示为两个整数的平方即：13=2 2 +3 2方，原理就是利用了勾股定理 a 2 +b 2 =c 2 ,那么显然只要能用两个正整数平方表示的数 a, a 就一定可以完美构造，如果换个角度呢？a 2

　=c 2 -b 2 能被两个整数的平方差表示的数,那么它的平方根，也应该能完美构造但是要成为直角三角形的直角边，是这样吗？ 如图 3 ， 5 都可以完美构造，都有哪些数可以 这样表示呢？我列 出 1 到 25 的 平 方 表 ，2 2 2 2 2 2 21 1,2 4,3 9,4 16,5 25,6 36,7 49...        然 后相邻的平方相减恰好是，3，5，7，9，11，这不恰好是一列奇数吗？ 如果用字母表示这个过程就是（n+1）

　2 -n 2 =n 2 +2n+1- n 2

　=2n+1(n 取正整数)，这样不是恰好证明任何奇数都可以表示成两个正整数的平方差，这样任何 a （a 为奇数）都可以如图完美构造表示了。如果不是连续两个数的平方又会怎么样呢？ （n+2）2 -n 2 =n 2 +4n+4- n 2 =4（n +1）(n 取正整数)，这个等式说明凡是 4 的倍数的数也可以这样完美构造表示如图，比如 12 ，经过验证对于 a （a 为 4的倍数）都可以如图构造表示。

　如果两个大小差 3、差 4 的正整数的平方差又能表示哪些数？我继续尝试（n+3）2 -n 2 =6 n +9 (n 取正整数)，因为 6 n +9一定为奇数前面已经解决不再考虑， 继续往下看（n+4）

　2 -n 2 =8（n +2）(n 取正整数)必为 4 的倍数，前面也已经解决不再考虑，那么往下还要继续验证吗？ 在老师指导下我们成功证明（n+x）2 -n 2 =x2+2xn (n 取正整数，x 为奇数)的结果 x 2 +2xn一定为奇数，（n+y）

　2 -n 2 =y 2 +2yn (n 取正整数，x 为奇数)的结果 y 2 +2yn 一定 4 的倍数，这个结果就说明了，利用两个正整数的平方差能表示的数只有奇数和 4 的倍数两种，再考虑能用两个正整数平方和表示的数，对于 100 以内的 a,形如 a 而不能完美构造表示的只有 6, 14, 22, 26, 30, 38, 42, 46, 54, 58, 62, 66, 70, 78, 82, 86, 90, 94. 共18 个数。

　终于有所眉目了，通过分析从分类的角度看，根据勾股定理构造直角三角形表示无

　理数只有平方和与平方差两种情况，经过以上验证和证明，对于 a （a 为 100 以内的整数）只有 18 个无理数不能用上述的方法通过一次构造表示，但是显然两次构造可以表示 a （a 为正整数），那么这剩余的 18 个数又会有什么规律，会有什么奇妙之处呢？我会带着这个问题继续思考。

　这次探索的过程让我有很多感悟，数学的神奇和美妙让我激动不已，数学图形的构造竟然和多项式的运算有着千丝万缕的必然联系，而这种对未知的探索的感受始终是激励我的动力。

　教师点评：在课程改革的引领下，作为教师都把培养学生数学能力，数学素养，感悟数学思想作为核心目标，但是如何实现这个目标呢？在开放的教学理念下，我只是在课堂上把以前表示无理数的方法变成问题交给了学生，没想到竟然归纳出这么多发现，通过延伸到课外的探究，学生的收获应该更多，我惊叹智慧不是我们教出来的，放手给学生，应到学生用数学家的眼光看待问题，数学会更加精彩。

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