基于中值定理精密测量二维曲线的研究

摘要　应用拉格朗日中值定理研究抛物线的测量，提出等距测量法，完成二维曲线的精密测量程序设计及逆向工程。确定抛物曲线面上所测量点的法向矢量，启动测量针半径补偿作精密测量，使用DEAPPL语言设计程序组，阐述进入CAD/CAM中的数据文件组生成，探讨等距值d对测量精度的影响，在测量机上快速完成二维曲线的测绘和检验，设计的程序组通过标准球实验，测量精度高，除能完成抛物线检验外，还能用于其它精密二维曲线扫描，如烟机平面槽型凸轮的测绘及检验。结论：中值定理和抛物线方程在工程测量技术上的结合，为抛物曲线面的计量检定和测绘奠定理论基础，并完成精密零件的二维曲线面扫描及逆向工程，在烟草行业，能应用于高速烟机设计和制造中对二维曲线面零件的计量检定等。

　　关键词　拉格朗日中值定理　二维曲线　等距测量法　法向矢量　逆向工程

　　拉格朗日中值定理是微积分学中应用广泛的重要定理，它阐述曲线和导数关系。在用三坐标对曲线面的计量检定中，其理论要求测针沿着所测点的法向矢量趋近测量，否则将产生测量误差，所以，二维曲线面的测绘和检验往往较难，抛物曲线面也不例外。三坐标测量机由于测量范围大、精度高、测针空间位置多，复杂曲线可按“极限思维”细分为“抛物曲线段”研究，因此，该中值定理在工程测量技术上有重要研究价值，在机械制造中，等距测量法和中值定理的结合，能完成二维曲线的检验和制造，如凸轮系列等。本文将以抛物线为基础利用中值定理研究二维曲线测量。

　　1拉格朗日中值定理与测量的法向矢量

　　图1测量A点产生的误差分析

　　如果函数曲线y=f（x）满足在闭区间[a, b]上连续，在开区间（a, b）内可导，则在（a, b）内至少有一点 ，使得 ，这就是拉格朗日中值定理， 的取值可在具体的方程中确定。在三坐标测量技术中，补偿测针半径是关键技术，精密测量任何几何元素，都必须作测针半径补偿。因此，测针必须沿着所测量点的法线无障碍地趋近测量点测量，并在该法线矢量上做测针半径补偿。如图1述：为测量曲线M上的点A示意图，P为A点切线，N为A点法线，除沿N的矢量V1以外的任何矢量测量A点，如V2、V3，都将产生测针半径补偿误差，该误差是系统误差。

　　2用等距法实现抛物线的测量

　　设在抛物线y=px2+qx+r上任意取两点A和B，其坐标分别为a和b，根据拉格朗日中值定理得 ，其表明在抛物线上任意两点中，只有一个取值 点，过该点的切线平行于线段AB，并且 点在x坐标轴方向上点A和B的正中间，且只与a和b的取值有关。该理论在完成抛物线测量中能解决测针半径补偿问题。

　　图2用等距测量法实现曲线的测量

　　在x轴上A和B间作N点等距测量，关闭测针半径补偿测量时，测针球中心产生的N点轨迹的曲线连线也是抛物线，且是原抛物线的等距曲线。如图1，XOY截面位置，设等距值为d，关闭测针半径补偿，按方向余弦（0，-1，0）的矢量V测量第j+1、j+2和j+3点。过第j+2点的切线则平行于第j+1点和第j+3点的矢量连线，用该矢量连线计算其垂线N的矢量V1，由于空间曲面的法线也是它的等距空间曲面的法线，该垂线N是过第j+2点的这两条抛物线的法线，所以，启动测针半径补偿，以第j+2点为目标点，使用该矢量V1作为测量趋近矢量，则可以精确测量抛物线上的坐标点。

　　3测量程序组设计

　　抛物线是二维曲线，为高效率完成二维曲线测量，应设计测量程序。程序设计采用两种模式输入参数，一种为人工采集线段始点和终点，程序自动计算录入；另一种为通过键盘输入，程序获得参数后，则自动测量。由于程序采用“测点跟踪法”设计[3, 4]，即程序能预测下一测点的大约坐标位置实施跟踪测量，所以程序运行一般不出现“碰针”情况。最后，根据使用，共生成3种类型两条曲线的数据文件计6个。

　　3.1测量向量的计算

　　关闭测针半径补偿，应用等距测量法在坐标轴的截面上采集各点，如图2述，计算第j+1和j+3点连线向量的垂直向量。

　　非补偿测量时，第一点的坐标为M1（xj+l，yj+l，zj+1），第二点为M2（xj+2，yj+2，zj+2），第三点为M3（xj+3，yj+3，zj+3），下面计算M1和M3的连线向量 （ax,ay,az）:

　　

　　由两向量的数量积公式： ? =|a||b|cosθ推导，向量 （ax,ay,az）与向量 （bx，by，bz）垂直的条件应满足：

　　axbx+ayby+azbz=O　　（2）

　　由于在YOZ平面内测量，ax=0，bx=0，axbx=0。于是得：ayby+azbz=0即

　　　　　　 （3）

　　分析图2，参见图3空间坐标系：在YOZ平面内， （0, ay, az）和 （0, by, bz）相互垂直， （0, by, bz）的向量应用公式（3）可为： ，其单位向量为：

　　

　　程序设计时， 的方向应遵循“右手规则”。使用向量 ，以M2（xj+2，yJ+2，zi+2）为测量目标点，启动测针半径补偿，则可测量该点的精确坐标值。

　　这样，使用向量 ，以M2为测量目标点，启动测针半径补偿，则可测量该点的精确坐标。当az→0即az=aj+3-aj+1→0，此时，向量 =（0, 0, -1）。这时，测针正以向量 测量抛物线顶点，M1和M3点在理论上处在以坐标z轴为对称轴的抛物线两边。设计测量程序当az=0时应注意，公式（4）中分母为0。

　　3.2程序设计

　　共设计6通用程序分别完成XOY、ZOY和ZOX截面内的二维曲线测量。以下关键自动测量程序段选自ZOY截面上轮廓的扫描模式，采用DEAPPL语言设计。

　　…

　　tip_compens on　　/*启动测针补偿

　　msh（MEMORY「J+11　, 1, 1, compens B1，B2，B3）/*测点命令

　　CCIR={FIX, Y1「J ，Z1「J }　/*启用中值定理测量切点，FIX为恒定

　　VCIR=（B1，B2，B3}　　/*趋近矢量

　　approach （B1，B2，B3）　　/*测量向量

　　movetf （CCIR，VCIR）　　/*测量运动命令

　　DDX=MEMORY「J+210　　 /*赋值

　　XM「J =DDX｜x　　/*赋值，轨迹x坐标

　　DDY=MEMORY「J+210　　 /*赋值

　　YM「J =DDY｜y　　/*赋值，轨迹y坐标

　　DDZ=MEMORY「J+210　　 /*赋值

　　ZM「J =DDZ｜z　　/*赋值，轨迹z坐标

　　…

　　3.3数据文件组生成

　　测量程序伴随数据文件同时生成，分别将测针中心轨迹和测量轮廓面轨迹的x、y和z坐标值按不同的文件名存储计6个，文件类型为MEA、ISO-G及SCN，它可以被Prof、CAD/CAM或CNC系统直接读取。为研究凸轮二维曲线，程序还设计有极坐标系下轮廓轨迹测量点极角和极半径的数据文件生成，其可在PROF或AutoCAD等中直接生成二维曲线图。数据文件组生成均为“覆盖”型设计，即第二次测量完毕自动“覆盖”上次文件。

　　4标准球实验与二维曲线测量

　　应用中值定理确定空间抛物曲线面上的测量点，应用其法线矢量做补偿测量，在理论上没有误差，选择较小的d值，还能用于机械制造中精密的二维曲线扫描，以下通过标准球实验来验证。

　　4.1在标准球上实验二维曲线的测量

　　设计的6个程序，分别作标准球实验。该标准球参数为直径偏差：约0.00015mm，直径D=15.87515mm，半径r=7.93758mm，如图3为球面轮廓扫描示意图。在球上建立测量坐标系，扫描等距值d=1mm，测量范围为14mm。测量矢量V的方向余弦分别使用：在XOY截面内V1（1，0，0）、V2（-1，0，0）、V3（0，1，0，）及V4（0，-1，0），在XOZ及YOZ内V5（0，0，-1）。

　　（a）：4个程序在XOY截面内实验

　　（b）：2个程序在YOZ和XOZ截面内实验

　　图3程序组的标准球实验

　　实验分析结果如表1述，表中给出测针轨迹R和轮廓轨迹r的测量平均偏差及标准偏差，取值范围和截面位置。

　　表1　轮廓截面标准球实验分析结果

　　由于测量机出厂精度为：1.9+3L/1000μm（L以mm计），使用已10年，因此，得到这样的扫描精度是很高的。实验表明：由于“圆曲线段”不是“抛物曲线段”，因此，对二维曲线测量，可以将该曲线细分为“抛物曲线段”，即将所测曲线“抛物线”化，虽然在理论上产生误差，但选择“足够小”的d值，该误差能降低到忽略。

　　4.2不同等距值d在标准球上的实验分析

　　应用上述理论，其测量的精度取决于d值的选择，d值较小，测量精度就高。以下通过标准球实验分析d值变化对测量精度的影响。应用V5（0，0，-1）在YOZ内截面内作实验，x=0，如图3（b）。实验结果如表2述，表中除d=0.02mm时，-7mm＜y＜-3mm外，其余-7mm＜y＜-7mm。南于标准球直径小，随d逐步增大，评价点数逐步减少。

　　表2　不同等距值d的实验分析

　　实验表明：小的d值有高的测量精度，随d值的变大.测量的不确定度也变大，如d＞3mm，测量的误差和标准偏差变大。实际上d的选择根据具体使用确定，因为d值小，虽测量精度高，测量点密集，但测量效率低。一般测量中，0.5mm＜d＜2mm时，能完成很多二维曲线的精密测量。

　　5应用实例

　　上述研究能用于凸轮二维曲线的精密测量。图4为GD卷包机上几种传动盘型槽凸轮之一，其GD公司零件号1009.343，外形尺寸ф5lO.20为斜齿轮，其背面和正面均有类似的槽型凸轮曲线。图4为正面，用中心孔和定位孑L建立测量坐标系。在投影面XOY内完成其测量，首先，人工采集4个合适的测量点，确定x和y测量范围，如图中尺寸表示，然后使用XOY截面内的4个程序分别完成曲线测量，d分别取1mm或2mm。

　　使用矢量V1设计的程序：方向余弦为（1，0，0），y的取值范围对应测量N曲线为：y1=D, y2=hy，曲线段为F点到H点；对应测量M曲线为y1=by，y2=cy，曲线段为B点到c点。其它矢量如V2、V3、V4设计的程序对应的测量范围如图4述。最后生成的数据文件可粘贴组合为一个，以便在CAD/CAM中生成首尾衔接的闭合曲线。

　　图4联用4个程序完成平面槽型凸轮曲线测量

　　图4为用8个轮廓轨迹数据文件生成的该凸轮原始曲线图，组成M和N曲线分别有746点和801点。此外，测针轨迹曲线在图巾没有绘制，由于其为采用“等距测量法”完成，因此，它在计量检验中还有重要应用。测量完毕，也分别生成各测量点在极坐标系中极角和极半径的数据文件，其为该研究凸轮曲线规律的原始文件，用于曲线的反求设计或改进等。图5为在AUTOCAD中生成该凸轮曲线的坐标图形。图中仪表示极角，s表示极半径。

　　图5在AUTOGAD中生成该凸轮曲线轨迹的坐标图

　　6讨论

　　关闭测针半径补偿作曲线测量，在CAD/CAM也能完成等距曲线面生成和制造，但获取轮廓表面数据文件较难，不利于作分析研究和计量检定。因此，在盘形凸轮测量中，应用该研究比用“等分度测量法”有优异性。此外，选用合适的测针位置，联用针对XOY截面的4个程序取不同的z坐标值，可以针对凸轮轴作精密测量，如卷包机中一轮总成凸轮轴；机械制造业如凸轮曲轴等。

　　7结论

　　中值定理能解决曲线测量切点位置的计算，生成的数据文件组能直接导入当今流行的CAD/CAM系统完成建模和制造，复杂曲线可按“极限”理论细分为“抛物曲线段”研究，选择合适的d值，中值定理的研究应用能应用到精密二维曲线扫描。在烟草行业，解决二维曲线的测绘和制造，能加快我国烟机核心部件的国产化进程；轮廓数据文件组的快速获取，利于研究烟机中的机械传动原理，推动我国卷烟技术发展。

　　参考文献

　　[1]李存华.应用函数微分法精密测量多元函数曲线面的研究[A].节能环保、和谐发展.2007中国科协年会论文集[C].武汉：中国科学技术协会，2007.

　　[2]李存华.基于等距测量法设计3D轮廓扫描程序及其逆向工程[A].节能环保、和谐发展.2007中国科协年会论文集[C].武汉：中国科学技术协会，2007.2007中国烟草自主创新高层论坛文集[C].武汉：中国烟草自主创新高层论坛组委会，2007：160-170.

　　[3]李存华.盘型凸轮轮廓轨迹的测量方法及应用[J].机械工程师，2006（8）：118-120.

　　[4]李存华.盘型凸轮轮廓轨迹的三坐标测量法及应用[A].施荣.云南省烟草学会2006年学术年会（工业篇）优秀论文集[C].昆明：《云南烟草》编辑部，2006：138-144.

　　[5]李存华.曲线面的测量及其在CAD/CAM中的逆向工程[J].制造技术与机床，2003（3）：55-57,63.

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