一类回归算法及其在成矿预测模型中的应用

(东华理工大学 数学与信息科学学院，江西 抚州 344000)
摘 要：文章提出的修正算法，能较好地修复常用的Gauss消去法、迭代法本身或数据的限制而导致预测精度较差的缺陷，并用其研究了广东下庄某区域岩层中K和Th对U成矿的影响。
关键词：多元线性回归；数学模型；铀成矿
中图分类号：P612  文献标识码：A  文章编号：1007—6921(2008)12—0066—02

回归分析法属于定量预测技术，它是一种从事物变化的因果关系出发进行预测的方法。它利用数理统计基本原理，在大量统计数据基础上，通过寻求数据变化规律来预测、判断和描述事物未来的发展趋势。

在应用多元线性回归模型进行预测时，回归系数的确定对预测结果来说是最为重要的。求解回归系数的方法前人已经做了很多的工作，已经有了相当的成果，如刘雄、魏庆平〔1〕提出了用一种改进的升阶法进行求解，胡尧〔2〕、李晔〔3〕等采用Gauss消去法及其改进算法进行求解，均能取得较好的效果。但上述方法的缺陷是有的只能对系数矩阵为方阵的或在数据较少情况下进行求解。在成矿预测及区域远景规划中所获得的物探、化探数据均具有不确定性，而且数量巨大，若采用通常的方法进行求解往往会由于舍入误差累积及受计算机字长的限制最后导致结果失效，预测失败。文章采用一种修正策略，能较好地改善上述问题，并用此方法研究广东下庄地区岩性地层中钾元素和钍元素对铀元素成矿的影响。
1 多元线性回归模型〔4〕

设y是一个可观测的随机变量，它受到p个非随机因素x₁,x₂,∧,x_p和随机因素ε的影响，若y与x₁,x₂,∧,x_p有如下线性关系：
y=β₀＋β₁x₁＋∧＋β_px_p＋ε     (1)

其中β₀,β₁,∧,β_p是个未知参数，ε是不可观测的随机误差，且通常假定ε～N(0,σ²)。则称上式为多元线性回归模型。称y为被解释变量（因变量），x_i(i=1,2,∧,p)为解释变量（自变量）。对于一个实际问题，要建立多元线性回归方程，首先要估计出未知参数β₀,β₁,∧,β_p，为此我们通过n次独立观测，得到组样本数据(x_i1,x_i2,∧,x_ip,y_i),i=1,2,∧,n,它们满足式(1)，即有

方程组(1)则可用矩阵形式AX=Y表示，此时X＝A^－1Y。但由于矩阵A非方阵，因此矩阵A不存在逆矩阵，但我们知道ATA一定是方阵，所以我们将其进行如下变化：
X=(A^T_·A)^－1_·A^TY    (2)

由此便能得出最终结果，但是在对ATA求逆的过程中，文章采用的是基于Hamilton-Caley定理的特征多项式法〔5〕对ATA进行求逆，此方法的优点是能够很好避免产生舍入误差。
3 广东下庄铀成矿预测

根据表1所提供的数据我们可以发现矩阵A是一个100×3阶的矩阵，n≥p，文章通过MATLAB软件计算得出

最后，将其代入(2)式得X＝(1.931 -0.5181 0.1053)^T，也即最终模型为：
U=1.931－0.5181K+0.1053Th

为了检验本模型的预测效果是否合理，文章最终采用了该岩层中的211个样品对其进行外推检验，效果如下图。由图中可以看出，除了少数的点与预测值相差较大外（由于采样点的地形地貌或其受它因素影响），大多数的值与预测值的误差值均在允许范围内，图形拟合度较高，说明预测模型合理。


4 结束语

我们所采用的模型及求解算法能够很好地解决数据量远大于自变量的情况，而且计算速度快，除了受计算机字长限制外，很好地避免了通常算法中存在的舍入误差对结果的影响。最后我们通过实例对算法进行了检验，结果显示效果良好。此算法模型不仅仅在地学上能有较大帮助，在其他许多工程项目相信也能起得很好的作用。
［参考文献］
［1］ 刘雄,魏庆平. 改进的求解线性方程组的升阶法［J］.湛江师范学院学报，2006，27(6):19～22.
［2］ 胡尧,罗文俊.改进Gauss消去法求解线性方程组［J］.贵州大学学报(自然科学版)，2004，21(2).
［3］ 李晔,李秀娟,白浩.用Gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法［J］.郑州工业高等专科学校学报，2001，17(1).
［4］ 赵鹏大.定量地学方法及应用［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［5］ 陈逢明.逆矩阵的求法及其在证券投资组合中的应用［J］.福建商业高等专科学校学报，2006，(5):111～114.

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