4.3三角恒等变换19改

　第三节

　三角恒等变换

　考纲解读

　会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究

　高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.

　知识点精讲

　常用三角恒等变形公式 和角公式 sin( ) sin cos sin cos          cos( ) cos cos sin sin          tan tantan( )1 tan tan     差角公式 sin( ) sin cos sin cos          cos( ) cos cos sin sin          tan tantan( )1 tan tan     倍角公式 sin2 2sin cos    

　2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin           

　22tantan21 tan 降次（幂）公式 2 21 1 cos2 1 cos2sin cos sin2 ;sin ;cos ;2 2 2         半角公式 1 cos 1 cossin ;cos ;2 2 2 2        

　sin 1 costan .2 1 cos sina    辅助角公式 2 2sin cos sin( ),tan ( 0),ba b a b aba          角  的终边过点 ( , )a b ，特殊地，若2 2sin cos a b a b     或2 2a b  ，则tan .ba 

　常用的几个公式 sin cos 2sin( );4     

　sin 32cos 2sin( );3     

　3sin cos 2sin( );6     

　题型 65

　两角和与差公式的证明

　题型归纳及思路提示

　思路提示

　推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例 例 4.33 证明 (1):cos( ) cos cos sin sin ; C           (2)用 C   证明:sin( ) sin cos sin S cos         (3)用(1)(2)证明tan tan:tan( ) .1 tan tanT      

　变式１ 证明：

　(1) :cos( ) cos cos sin sin ; C           (2) :sin( ) sin cos sin S cos         tan tan(3) :tan( ) .1 tan tanT      

　 题型 66

　化简求值

　思路提示

　三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等. (1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式. (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式. (3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函

　例 例 4.34 已知3cos( )4 5x  则2sin2 2sin( )1 tanx xx 7.25A

　 12.25B

　 11.25C

　 18.25D

　 评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单. 变式 1 1 若1 3cos( ) ,cos( ) ,5 5        则tan tan _______.   

　变式 2 2 若4cos5   ，  是第三象限角，则1 tan2( )1 tan2 1.2A 

　1.2B

　.2 C

　. 2 D 

　变式 3 3

　若1tan 4tan  ，则 sin2 ( ).  

　1.5A

　 1.4B

　 1.3C

　1.2D

　二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）

　 将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.

　常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1. 和、差角变换

　如  可变为 ()     ； 2  可变为( ) ( )       ； 2  可变为 ()      例 例 4.35 若3 30 ,cos ,sin( ) ,2 5 5              则cos  的值为（

　）. . 1 A 

　. 1 B  或725

　 24.25C 

　24.25D 

　评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：

　( ) ; ( ); ( ) ( )                         等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式 1 1 已知5 10sin ,sin( ) , , (0, )5 10 2         ( ).  

　.3B

　.4C

　.6D

　变式 2 2 若3 3 3 5( , ), (0, ),cos( ) ,sin( )4 4 4 4 5 4 13             ，则 sin() ______.    

　 二、辅助角公式变换

　例 例 4.36 已知4 3cos( ) sin6 5     ，则7sin( )6  的值为（

　 ）. 2 5.5A 

　 2 5.5B

　4.5C 

　 4.5D

　5.12A

　变式 1 1 设6sin14 cos14 , sin16 cos16 , ,2b c       则a,b,c 的大小关系为（ ）. A.a<b<c

　B.b<c<a

　C.a<c<b

　D.b<a<c

　变式 2 2 将函数 ( ) 3sin cos2 2x xf x   的图象向右平移23个单位长度得到函数 ( ) y g x  的图象，则函数( ) y g x  的一个单调递减区间是（

　 ）

　A． ( , )4 2 

　 B． ( , )2

　 C． ( , )2 4  

　 D．3( ,2 )2

　 变式 3

　已知3sin cos6 3       ，则cos6    （

　 ）

　A．2 23

　B．2 23

　C．13

　 D．13

　变式 4

　设当 x   时，函数 ( ) 2sin cos f x x x   取得最大值，则 cos   __________

　3. 倍角，降幂（次）变换

　例 4.37 已知  为第二象限角，3sin cos3   则 cos2( ).  

　变式 1 1 若1sin( )6 3   则2cos( ) ( ).3  

　7.9A 

　1.3B 

　 1.3C

　 7.9D

　变式 2 2

　已知4sin cos3    ，则 si n2  =（

　 ）. A．79

　B．29

　C． 29

　D．79

　 变式 3 3 已知3 12sin(2 ) ,sin5 13       且( , ), ( ,0),2 2       求 sin  值.

　 变式 4 4 若3 1sin , ( , ),tan( )5 2 2         ，则tan( 2 ) ( ).     24.7A 

　 7.24B 

　24.7C

　 7.24D

　变式 5 5 已知1sin cos2    ，且 (0. )2  ，则cos2_____.sin( )4

　 4 4. . 诱导变换

　例 例 4.38 若(sin ) 3 cos2 f x x  ，则(cos ) ( ). f x  .3 cos2 A x 

　.3 sin2 B x 

　.3 cos2 C x 

　 . 3 s i n 2 D x 

　变式 1 1

　 是第二象限角，4tan( 2 )3     ，则tan _______.  

　 变式 2

　若5sin( ) , (0, )4 13 2      ，则cos2_____.cos( )4

　 变式3

　2tan sin2 cos , ,4 2                 ，则   tan     ____________．

　最有效训练题 19 （限时 5 45 分钟）

　1.已知函数 ( ) sin 3cos , f x x x   设( ), ( ), ( )7 6 3a f b f c f     ，则 , , a b c 的大小关系为（

　）.

　 A.a<b<c

　 B. c<a<b

　 C.b<a<c

　 D.b<c<a 2. 函数  1 π πsin cos5 3 6f x x x            的最大值为（

　 ）. A．65

　B．1

　C．35

　D．15

　3.若1tan2  ，则 cos(2 ) ( ).2  

　4.5A

　 4.5B 

　1.2C

　 1.2D 

　4.已知1 1tan( ) ,tan2 7       ，且, (0, )    ，则 2( ).     .4A

　 3.4B

　 5. ,4 4C 

　 3 5. , ,4 4 4D  

　5.函数sin( )( 0) y x      的部分图像如图 4－33 所示，设 Ｐ 是图像的最高点， Ａ，Ｂ 是图像与x 轴的交点，则 tan( ). APB   Ａ .10

　 Ｂ .8

　 8.7C

　 4.7D

　6.函数sin 3cos 4xyx的最大值是（

　）. 1.2A 

　12 2 6.15B  4.3C 

　12 2 6.15D  7.已知 tan( ) 34   ，则2sin2 2cos ______.    

　 8.

　已知π0,2   ， tan 2   ，则πcos4    

　. 9. 23tan10 1________.(4cos 10 2)sin10

　10.已知1 13cos ,cos( )7 14      ，且02     ，则 tan2 ____, ____.    

　11.已知函数2( ) 2cos 3sin .2xf x x  

　（1）求函数( ) f x 的最小正周期和值域； （2）若  是第二象限角，且1( )3 3f   ，求cos21 cos2 sin2   的值.

　12.已知三点3(3,0), (0,3), (cos ,sin ), ( , ).2 2A B C    

　（1）若 ACBC ，求角  ； （2）若 1 AC BC   ，求22sin sin21 tan 的值.

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