概率与统计复习题01

　参考数据：

　0.025 0.051.96, 1.64, Z Z  0.025 (8)2.3060, t 0.025 (9)2.2622, t 

　(1.25) 0.8944   ， (1.75) 0.9599   ， 6179 . 0 ) 3 . 0 (   ， 6915 . 0 ) 5 . 0 (  

　共 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分）

　1．设 (1.5,4) X N ，则 {-2 4} P X   =（

　a ）

　A． ． 0.8543

　Ｂ Ｂ. 0.1457

　C. 0.3541

　Ｄ.

　0.2543

　2．对于任意随机变量 Y X, ，若 ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E  ，则（

　b ）。

　A． ． ) ( ) ( ) ( Y D X D XY D 

　 Ｂ Ｂ. ) ( ) ( ) ( Y D X D Y X D   

　 C.

　Y X, 一定独立

　 Ｄ Ｄ.

　Y X, 不独立

　3．设随机变量的概率密度21( )0 1qx xf xx  ，则 q =（ b

　）。

　A． ． 1/2

　Ｂ Ｂ. 1

　C. -1

　 Ｄ.

　3/2

　4．事件 , A B 为对立事件，则（ b

　）不成立．．．。

　A． ． ( ) 0 P AB 

　 Ｂ Ｂ. ( ) 0.5 P B A 

　C. ( ) 1 P A B 

　 Ｄ.

　( ) 1 P A B  

　5．掷一枚质地均匀的骰子，在出现奇数点的条件下出现 5 点的概率为（

　a ）。

　A． ． 1/3

　 Ｂ Ｂ. 2/3

　 C. 1/6

　 Ｄ.

　3/6

　共 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分）

　1．设随机变量 X 的概率密度  其它 , 01 0 , 1) (xx f

　则   0.4 P X  

　 0.6

　2．设有 7 支铅笔，其中有 1 支是次品。今从中任取出 1 支，它是次品的概率为 1/7

　 3．已知随机变量 X 的分布律为：

　则 ( ) E X 

　1.7

　 4．设总体 X 服从参数为2,   的正态分布， X 是样本均值， n 是样本容量。

　则 ~Xn

　 N(0,1)

　 （填分布）

　5．设 ( ) D X  4, ( ) D Y  9, 0.4xy  ，则 ( ) D X Y  

　17.8

　X

　1 0 3 P

　0.2 0.3 0.5

　计 三、计算题（本大题总计 62 分）

　1．某电子设备厂所用的晶体管由甲、乙、丙三家元件制造厂提供。已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为 0.02，0.01，0.03，又知三个厂提供晶体管的份额分别为0.15，0.80，0.05，设三个厂的产品是同规格的（无区别标志），且均匀的混合在一起。求在混合的晶体管中随机的取一只，它是次品的概率。（ （10 分 分 ）

　解：全概率公式 ( ) 0.15 0.02 0.80 0.01 0.05 0.03 P A      

　0.0125 

　2．设二维随机向量 ( , ) X Y 的联合分布密度, 0( , )0,ye x yf x y   其它，分别求关于X 和 Y 的边缘密度函数。（ （10 分 分 ）

　解：

　( ) ( , )Xxf x f x y dy 

　 （2 分）

　, 00, 0y xxe dy e xx      

　 （3 分）

　  分）

　（2 ) , ( ) ( dx y x f y f y

　0, 030,yy ye dx ye y     （ 分）其它 3．设某电子元件的寿命 X 是随机变量其概率密度为50( )0 0xKe xf xx  (1)确定常数 K

　(2)求 } 2 . 0 {  X P

　3.①0501( ) 0 15xx dx dx Ke dx K        

　（4 分）

　故 5 K 

　。

　 （1 分）

　②5 10.2( 0.2) 5 0.3679.xP X e dx e    

　 （5 分）

　4．设连续型随机变量 X 的概率密度1,( )0,a x bf x b a  其它，求 ( ) E X , ( ) D X

　4. X 的数学期望为

　  12baa bE X x dxb a 

　(4 分) 22 2 21( )2baa bDX EX EX x dxb a        212b a 

　 5．设总体2~ ( , ) X N   ，2,   为未知参数，1 2, , ,nx x x 是来自总体 X 的一组样本

　值，求2,   的最大似然估计量。

　5.    2221 1; , exp2 2f x x         

　 (2 分)    22211 1, exp2 2niiL x         

　(4 分)

　令

　  2122 2 2211ln 01ln 022niiniiL x nnL x              

　 (2 分)

　解之得  2211ˆ ˆ ,niiX X Xn   

　 (2 分) 6．设某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布，已知它的标准差 150   。现从一批产品中随机地抽取了 26 个，测得该项指标的平均值为 1637 小时。问能否认为这批产品的平均寿命为1600 小时   0.05   ？（ （10 分 分 ）

　6.0 :1600 H   ，11600 H 

　(2 分)

　1600 1637 16001.258150 26 150 26xU   

　(4 分) 由查表知，0.0251.96 Z  ，而 1.96 U  未落入否定域

　(2 分) 故可以认定这批产品指标为 1600

　 (2 分)

　 四．证明题（计 本大题总计 8 分）

　设总体2~ (0, ) X N  ，1 2, , ,nX X X 是来自总体的一个样本，估计量2 211ˆniiXn，试证明：2ˆ  是2 的无偏估计量。

　证明：因为2( ) 0, ( )i iE X D X   

　所以2 2 2( ) ( ) [ ( )]i i iE X D X E X    ＋

　 2 2 211ˆ ( ) ( )niiE E Xn  

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