新课标下函数单调性在非函数试题中的另类应用

函数单调性是函数的非常重要的性质，函数单调性不但在函数试题中具有广泛的作用，而且在许多非函数试题中也具有很重要的应用。本文举例说明函数单调性在非函数试题中的另类应用。

一、函数单调性在解方程中的应用

若函数f（x）在区间I上是单调函数，则方程f（x）=f（y）在区间I上有解的充要条件是x=y：。

例1：在实数范围内解方程（5x+3）3+x3+6x+3=0。

分析：这是一个高次方程，如果按常规：先去括号、后移项、再化简，十分麻烦。但若不展开，而直接把（5x+3）3看成一个整体，配方出（5x+3），就会把复杂的高次方程，转化为比较简单的方程求解问题，再利用函数的单调性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程等价转化为（5x+3）3+（5x+3）=-（x3+x）：

设函数f（x）=x3+x，则f（x）为奇函数，并且在实数集R上是单调递增函数，这时，原方程又可等价转化为：f（5x+3）=-f（x）=f（-x）。由函数的单调性可知：5x+3=-x，=>x=-。即原方程的实数解为：x=-。

二、函数单调性在求值中的应用

例2：已知实数x、y满足x3-3x2+5x=1，y3-3y2+5y=5，求x+y的值。

分析：由这两个方程决定的实数x、y应该可以通过解方程的形式获得求解，但这肯定不是原题的初衷。分析这两个方程的结构，非常相似，对它进行等价变形，可以使其进一步接近。

解：由x3-3x2+5x=1，=>（x-1）3+2（x-1）+2=0；

y3-3y2+5y=5，=>（1-y）3+2（1-y）+2=0。

设函数f（z）=z3+2z+2。显然，该函数f9z）在实数集R上是单调递增函数，由上述结果可知：f（x-1）=，f（1-y）=0即f（x-1）=f（1-y），由函数的单调性可知：x-1=1-y，=>x+y=2。

三、函数单调性在证明恒等式中的应用

例3：已知x3+sin3-2a=0，x∈-，，4y3+sinycosy+a=0，y∈-，，求证：cos（x+y）=cosy。

分析：本题已知条件初看比较繁，学生往往感到无从下手，但若构造一个新的函数f（x）=x3+sinx，利用该函数的单调性，可比较简洁地获得证明。

证明：令函数f（x）=x3+sinx

由已知x3+sinx-2a=0，=>2a=x3+sinx=f（x），x∈-，；

又由4y3+sinycosy+a=0

=>2a=-8y3-2sinycosy=（-2y）=f（-2y），-2y∈-，

则f（x）=f（-2y），且x∈-，，-2y∈-，

而函数f（x）=x3+sinx在区间-，上是单调递增函数，则有x=-2y，=>x+y=-y，因此：cos（x+y）=cosy

四、函数单调性在解不等式中的应用

若函数f（x）在区间I上是单调递增函数，则在区间I上有：f（x）>f（y），<=>x>y；或者f（x）x

若函数f（x）在区间I上是单调递减函数，则在区间I上有：f（x）>f（y），<=>xx

例4：已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），且当时x>0，有f（x）<0。又f（1）=-2。设a>0为常数，解不等式f（ax2）-f（x）>f（a2x）-f（a）。

解：原不等式等价转化为：f（ax2）-f（a2x）>2[fx）-f（a）]，由已知得：f（x）-f（y）=f[（x-y）+y]-f（y）=[f（x-y）+f（y）]-f（y）=f（x-y），则原不等式可进一步等价转化为：f（ax2-a2x）>2f（x-a）=f（2x-2a）。

设x1>x2，即x1-x2>0，则f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）<0，=>f（x1）

当a>时，原不等式解集为：x

当a=时，原不等式解集为：ф；

当0

五、函数单调性在证明不等式中的应用

例5：（2001年全国高考试题）已知i，m，n是正整数，且l（1+n）m

证明：由于i，m，n是正整数，且l

构造辅助函数f（x）=，x≥2，则f"（x）=。

由x≥2知，0<<1，ln（1+x）>ln3>1，=>f"（x）<0。因此，函数f（x）在x∈[2，+∞]上是单调递减函数。

又由于2≤m，=>nln（1+m）>mln（1+n），=>ln（1+m）n>ln（1+n）m，因此：（1+m）n>（1+n）m。

六、函数单调性在求恒成立不等式的参数范围中的应用

例6：已知不等式++…+>2a-9对一切正整数n恒成立，求正整数a的最大值

解：设自变量为n的函数f（n）=++…+，其中n∈N*

由f（n+1）-f（n）=+++

=>0，=>f（n+1）>f（n）

可知：函数f（n）在n∈N*时是单调递增函数，则函数f（n）的最小值为：[f（n）]min=f（1）=++=。因此，符合题意的正整数a应满足的条件为：2a-9<[f（n）]min=，=>a<=5。考虑a∈N*，则正整数a的最大值为amax=5。

七、函数单调性在数列中的应用

由函数单调性的定义得，若数列{an}中满足an+1-an>0，则数列{an}叫做单调递增数列；若an+1-an>0，则数列{an}叫做单调递减数列。对两个重要的基本数列讨论：在等差数列{an}中，由等差数列通项公式知：an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），则数列{an}为单调递增数列的充要条件是d>0；数列{an}为单调递减数列的以要条件是d<0。在等比数列{an}中，an=a1qn-1，则数列{an}为单调递增精锐列的充要条件是a1>0且q>1，或a1<0且00且01。利用函数单调性在求解数列参数范围或数列最大（小）值时有较多应用。

例7：已知数列{an}的通项公式an=3·（）n-1[（）n-1-1]，求数列{an}的最大值和最小值。

解：记t=（）n-1（0

同理可得n∈（3，4，5，6……）时，an=3·（）n-1[（）n-1-1]单调递增且an∈[-，0]

所以当n=1时，（an）max=a1=0；当n=3时，（an）max=a3=-。

八、函数单调性在求二项式系数中的应用

在二项式定理中，因为二项式系数

因此，当k<，且k∈N时，关于k的函数是单调递增函数；当k>，且k∈N时，关于K的函数是单调递减函数。

而对于二项展开式的各项的系数，同样具有单调性。

例8：已知在二项式（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项。

解：末三项的二项式系数分别为：

由已知得：

=>n2+n-240=0，考虑n∈N*，则得：n=15。

设Tr+1项与Tr项的系数分别为tr+1与tr，则。

令。

即当r=0，1，2…，11时，关于r的函数是单调递增函数，并且当时，tr+1=tr，即t13=t12。因此，展开式中系数最大的项为：

九、函数单调性在实际应用题中的应用

例9：（2001年广东、河南高考试题）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？如果要求λ∈[，]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张的面积最小？

解：设画面高为xcm，则宽为λxcm。由已知得：λx2=4840，则纸张面积为：

当且仅当16λx=10x，即λ=时，宣传画所用纸张的面积S（v）取得最小值为Smin=S（）=6760cm2。宣传画的高x=88cm，宽λx=55cm。

因此，关于的函数S（λ），在λ∈[，]时是单调递增函数，从而，当λ=时，宣传画所用纸张的面积S（λ）取得最小值为：Smin=S（）=+5000（cm2）

因此，当宣传画的高为88cm，宽为55cm时，宣传画所用纸张的面积S（λ）取得最小值为Smin=6760cm2。如果要求λ∈[，]，则当λ=时，宣传画所用纸张的面积S（λ）取得最小值为Smin=+5000（cm2）。

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