控制论中动态系统的数学模型及分析

【摘 要】控制系统的建立，往往先要建立相应的数学模型，而建立数学模型往往涉及到许多数学简化算法。控制论是美国数学家诺伯特·维纳创立的一个数学理论，它最初以数学模型为理论的基础，后来逐渐渗透到各种系统之中，本文对数学上的控制理论进行简单的探讨。

【关键词】连续时间；动态系统；数学模型；控制理论

中图分类号： O231.3 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）31-0136-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.31.066

【Abstract】The establishment of control systems often requires the establishment of corresponding mathematical models， and the establishment of mathematical models often involves many mathematical simplification algorithms. Cybernetics is a mathematical theory founded by American mathematician Norbert Wiener. It was originally based on mathematical models and gradually penetrated into various systems. This paper briefly discusses mathematical control theory.

【Key words】Continuous time； Dynamic system； Mathematical model； Control theory

1 控制论

1.1 控制系统

对一个自然的对象，通过一定的影响，是这个对象的行为满足预先设定的目标，或者完成相应的任务。这就叫做控制系统。

控制论是对控制系统建立具有指导意义的操作理论。控制论理论应用非常广泛，他的观点都有很好的研究价值，控制论对一系列的研究提供了方向，将被研究对象当成整体的可控的系统，对它的信息处理、传递、反馈等系统的研究，可以使得被研究的物体或者系统有着出乎意料的收获。

1.2 控制论简述

在1947年，美国学者维纳创立控制论数学学科。并于1948年发表著作《控制论》，他的发表，给学术界造成了极大的震动，一时间，维纳家喻户晓，控制论作为一种偏重于实际意义的理论，为不少行业的发展起了不小的推动作用，20世纪后期，控制论已经慢慢的渗透到，机械，医学，生物等多个方面，慢慢的控制论也逐渐丰富起来，控制论是一部兼顾理论与应用的伟大著作。其大概可以理解为在无人控制的情况下，系统会按照设定的方向运行。从控制论建立以来，其大概经历了两个不同的阶段。古典控制论：通过函数信息计算，对控制系统的输入，执行，表达进行分析和设计问题。现代控制论：因为科学技术的发展，特别是空间科学的进步，控制论开始与空间结合，基于现代空间的状况，开始研究可以多个同时输出，多个同时接受，程序进行的更加智能，效率更加高效的控制系统研究开发。

控制论的诞生是自动控制、电子技术、计算机科学等多个行业相互结合的结果，维纳从1919年就已经开始存在控制论的模糊思考，二战期间维纳受任自行火炮的研究，在当时他就提出了反馈思想，把活动的所有结果参数化，同时把导致活动结果产生关系函数的关系，然后再送回总控制系统进行修改校准。并在1943年，他撰写了《行为、目的和目的论》，并且这个思想在自行火炮的研发上取得了成功，这是得维纳对控制论的思考更加的清晰。从1948年控制论诞生，到控制论广泛的运用于各个领域时间不到两年，六年以后，我国的科学家，钱学森教授将控制论推广，让其在工程方面应用，创造了工程控制论，从此以后，控制论呈井喷式发展，各种控制论涌现，比如生物控制论，经济控制论，社会控制论等等。

2 数学控制基础

控制系统可以通过常微分方程，差分方程，偏微分方程等一些列数学公式建立，通过各个公式之间的关系，调配下一级动作。在数学中有两大控制理论。

2.1 基本控制理论

2.1.1 经典控制论

经典控制论解决的是单输入输出和早期的稳定性理论。研究反馈控制得主要是以反馈控制为其主要研究内容的自动控制理论的历史，从第一篇关于经典控制论的时间算起来到现在还不足100年。但是早在1000年以前控制论思想就已经开始具有概念。控制这个词语也极大的反应了，人类对掌握超越自身能力的渴望。渴望征服自然，为自己服务着一思想。但是早期的控制论思想是不稳定，不平衡的，于是稳定性的问题很早以前就开始被研究，根据有关的文献表明牛顿可能是研究动态系统稳定性的第一个人。牛顿的数学原理的一系列研究表明，尤其是他的引力学说中对于做圆周运动的质子的对应研究中，他假设圆周运动质子收到的引力的大小与它到圆周运动中心的距离n次方有关。他发现，n>-3时，当质子受到微小的干扰时，仍然能够在原来的圆周运动轨道上做圆周运动。而当n≤-3时，质子受到细微的扰动将会以螺旋的方式进行远离圆周中心，此也叫作逃離运动，或者逐渐靠近圆周运动中心。

在万有引力建立之后，许多学者，天文学家，物理学家尝试证明太阳系的圆周运动是稳定的。我们所熟知的数学家拉格朗日，和拉普拉斯也曾对这个问题进行过深入的研究，基于前人的经验和理论研究，在24岁时“证明了行星到人阳的距离在一些微小的周期变化之内是不变的”虽然这个证明在现在来说是不严格的，但是他的理论对李亚普诺夫的稳定性理论有很大的影响。

在十九世纪以前保守系统的稳定性一直是讨论验证的重点。主要是关于行星圆周运动是否具有稳定问题。Clerk Maxwell是最先通过对对反馈控制系统的稳定性进行系统分析，并且取得了不错的成果，并且撰写了关于此的论文 。关于他研究结果是否正确，麦氏对三阶微分方程进行验证，以及具有五阶微分方程的Maxwells governor进行了研究。证明其结果是可行的，并且得出了系统稳定性的条件。在同一个阶段维什聂格拉斯基也对蒸汽机的稳定性问题进行探讨，维什聂格拉斯基也是对其进行线性化，但是他用线性微分方程描述由调整对象和调整器组成的系统。比Clerk的方法更加简便。

2.1.2 现代控制理论

在现在控制理论中进展最快的是对的是多输入多输出线性系统，特别是建立对刻划控制系统本质的基本理论，比如可控性、可观性、实现理论等，从此控制的工程设计变成了一门单独的研究方向。它促进了控制理论从理论到应用的进程，促进非线性系统、最优控制，卡尔曼滤波、鲁棒控制等理论的提出与进步发展，并且称为重要的科学研究理论。

在上世纪五十年代，由于空间技术的发展和计算机技术的不断进步，并于上世纪六十年代取得巨大的成果。在这一段时间，卡尔曼第一次将状态空间系统与控制理论杂糅结合起来，并提出了一些具有重要意义的理论。这些理论就组成了近代现代控制理论的起点和基础。

线性代数和微分方程是现代控制理论的重要手段，与状态空间法结合，制作控制系统。其中状态空间法，发挥了非常大的应用，他不只是关注控制系统外部的稳定，他同时兼顾系统内部。它揭示了控制系统内部的运动规律，对系统实现优化。与经典的控制理论相比，现代控制理论原则上讲它可以应用在更多的对象上，它不仅仅是单输入输出的、线性的、定富的、也可以是多输入输出量的、非线性的、时变的、离散的、高效的。

2.2 控制理论的数学表达

控制理论在数学上的联系涉及线性控制系统和非线性控制系统。线性控制系统主要涉及到线性代数、常微分方程、随机控制系统，概率论、随机过程和随机微分方程，集中参数控制系统变分法常微分方程泛的分析。

非线性控制系统涉及到分布参数控制系统偏微分方程、泛的分析、线性算宁半样理论等。非线性控制系统微分几何的现代理论，微分拓扑初步、常微分方程离散中件动态系统抽象代数等。

3 控制.系统稳定性

3.1 李亚普诺夫稳定性

3.1.1 平衡状态稳定

我们先来假定一个圆周运动，设以X为圆心，以 R 为半径的一个球形区域S，那么x一定会有一个半径，且0≤r≤R。只要x1一开始就在球形区域以内， 当随着时间进行x1一直都在这个球形区域里面，那么这个圆周系统是稳定的。当x1在运动中受到干扰时，x1一直没有超出球面范围，那么它最后还会在球面以内稳定运行， 如图 1 的曲线 2 2 .2 平衡状态渐近稳定。

3.1.2 平衡狀态不稳定

假设x不稳定时。那么在球形区域内运动的x1将会脱离球体。

3.1.3 李亚普诺夫间接法

间接法是的将非线性系统在平衡点附近进行线性化， 将非线性系统近似的看成线性系统，然后用研究小范围内线性化系统的稳定性。这一种线性近似运算只有当X1偏差量很小的前提下进行，但是到临界以后不再使用。

3.1.4 李亚普诺夫直接法

直接法不同于间接法，其不再采用对线性控制系统的近似研究， 它判断非线性系统的稳定性利用李雅普诺夫函数来研究。这种方法与间接法互补，两者的使用范围各不相同，直接法适合临界状况，不适合平衡点附近的轻微扰动。此外直接法还适合大范围系统稳定性的研究。

3.2 连续时间函数的定义：

针对要研究的对象，我们可以为这个对象得动态性能建立一个数学模型，然后在进行研究探索。 大部分研究对象的动态系统分析可以用这两个方程来表示：

关于连续时间系统的函数：·X（t）=f[X（t），U（t），t]

关于离散时间系统的函数：X（k+1）=f[X（k），U（k）， k]

当时间不变动时，及定时不变时：X·（t）=f[X（t），U（t）]

X（k+1）=f[X（k），U（k）]

其实非线性系统的分析不是太难，主要在寻找定量上，通俗来讲就是寻找控制系统特征规律。判断这个系统是否稳定，就要寻找这个系统是否有平衡点，然后通过平衡点的稳定，判断系统是否稳定。

系统的平衡状态

假设一个动态系统是平衡的问题， X-其中的状态点， 若系统稳定当到达 X-以后， 就保持为 X-。若比系统平衡， 平衡状态 X-应满足：

离散时间系统：X-=f（X-）

连续时间系统：0=f（X-）

4 结语

本文只简单介绍了数学中的控制论基础，并对控制系统中的稳定性问题进行简单的分析。拉氏变换极大的促进了控制系统理论由理论到应用的进程。当然控制论从理论到应用最重要依靠的是好几代人的不懈努力。随着近代数学不断进步，我相信有关控制系统理论的一些问题终会解决。

【参考文献】

[1]郑春玲.控制论中动态系统的数学模型及分析[J].景德镇高专学报，1999（4）：26-27.

[2]世文菊，何彦彬，任善恂.基于控制论的数学测试系统应用研究[J]. 现代远程教育研究，2012（10）：33-36.

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