群定义的引入教学探究

摘 要： 诸多教材在引入群时，没有论述到群定义中“封闭性”、“结合律”这两条的合理性，本文作者根据教学实践，对引入予以了丰富，并由此论述了相关代数问题的一些发展。

关键词： 群的定义 封闭性 结合律 数学发展

引言

对称与群现在已出现在高中新课程标准选修系列3的第4块专题，而群本身是大学数学《近世代数》的基础概念，并且一般是作为近世代数第一节的开课内容。师范学院数学系教师，面对即将踏上中学数学教师岗位的师范学生，首先有必要透彻地讲好这一概念，从而使学生增强数学素养，把这些理解渗透到今后的中学教学中去。

笔者在教学中参考了很多教材和文献，这些文章和专著在有关对称与群的关系也有很多论述，见文献［４］。笔者发现，由对称当然可以看到每个元素都有对立元素——逆元，对称中心—单位元，即G、G确实合理，但为什么还要加封闭性和结合律，即G、G这两条要求？学生很困惑。诸多文献、教材（如果有引入的）或者是阐述对称存在的广泛性，或者是总结对称的类别，如图形对称、运动对称、数域对称、多项式对称等，而为什么这些现象和类别通过抽象就可得出群的定义，并不是很明确。笔者做了一些探究，由以下几方面来阐述群这种结构的合理性：首先回顾群的定义，然后分别讨论G、G条件，最后讨论由此角度看到的数学发展。

一、群的定义

群是Galois为解决方程的根的问题而引入的，我们首先看群的定义：刘绍学版［２］P12-13：设·是集合G的一个二元运算（我们常称为乘法）。称（G，·）为一个群，如果这个运算满足下列诸公理：

（G）对任意a，b∈G，有ab∈G；

（G）对任意a，b，c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；

（G）存在e∈G，使得对任意a∈G，有e·a=a·e=e；

（G）对任意a∈G存在一元素b∈G，使a·b=b·a=e。

其他文献，杨子胥版［３］：用代数运算代替了（G），其他三条是一致的。即便如此这两个版本的教材还有区别，但可以论证，它们的本质是一样的。笔者也并不准备拘泥于这些定义的方法的不同，因为这些定义本质上都是上述四条。由于G、G已经有很多文献论述其合理性，笔者的目的是强调G、G的数学背景，完善上述关于“合理性”的论述。在引入这一概念时，学生可以更多地感受这一概念的合理性和每一条件的必要性。

二、G的必要性和合理性

G也就是元素对“·”的封闭性。

直观来看，数学中与“数”相关的运算经历了很多非封闭阶段。这也是每个即便只有简单数学学习经历的人都要经历的阶段。比如，小学生学习加法时，不论怎么相加都不存在问题，但做减法就不行了，在小学时用小的数减更大的数，好像就找不到结果。再比如，乘法可以随便进行，但在没有引进分数时，除法却不是可以随心所欲的，被除数必须是除数的整数倍。进一步学习，引进了分数，这个问题才得以解决（当然还得附加，除数不为0，这一条件）。到了中学，有了负数，减法可以随便进行了，但负数开方又好像是不可能的，这时候虚数出现了，进一步扩大了数域范围。我们现在知道这个范围还可以继续扩大，从环的角度来说，四元素环就更“大”了。而也许有一天，因为某种运算“不封闭”还可能导致这个范围继续扩大，而这里涉及的还只是已经比较规范的数的集合，而非数集合，否则经过运算后不封闭的可能性更大。

通过上述讨论，我们可以归纳为以下几点：

1.所研究的集合，有些元素经过运算后，如果有元素“跑”出去了，这个集合也就失去了研究价值。所以，对群的运算提出“封闭性”这一条件是必要的，也是合理的。

2.对群的“运算”要素引起足够重视，而不仅仅是集合这一要素，这也是我们初学近世代数容易误解之处，认为群就是一集合，忽略群的二元性（集合和运算）。在这个基础上，我们就可以自然地理解同一个集合Z，（Z，+）是群，而（Z，·）不是群（这里的+和·代表的是通常的加法和乘法）。

3.通过这些具体例子，可以降低群这一概念的抽象性，使学生更容易接受这一概念。

三、G的必要性和合理性

1.G也就是结合律条件。

我们对结合律一般都不以为然，之所以如此，是因为我们最为熟知的“数”（整数、有理数、实数或者复数）的加法和乘法都符合结合律，所以对于结合律我们会想当然地认为这一条似乎没有用。而稍加思索，我们就会发现，减法和除法就不符合结合律。其实，生活中不符合结合律的事件比比皆是，比如我们非常熟悉的一个数学故事：一个人带一只公鸡、一把白菜、一头狼过桥，而每次只能带两样东西过桥。那么，这个人先让哪两样东西组合，再带另一样东西过桥，结果就不会一样。高中数学和物理都有涉及的向量的内积（·）·≠ ·（·），外积（×）×≠×（×）也不符合结合律，由此推广得到的代数的另一个分支，李代数的乘法和一般的代数系统不一样，不存在结合律。近世代数具有高度的抽象性，所谓抽象，就是要概括一般情况，既然一般集合有不符合结合律的，而我们研究的“群”是一种相当规范的结构，就得另外加强条件。这些例子可以让学生认识到结合律这一条件的必要性。

2.结合律的合理性

我们反复强调，“群”是相当精巧和规范的结构，之所以规范，因为群的建立是为了研究一些具有规范结构的代数问题，所以我们对“·”提出了要求，即可以不考虑乘法顺序。

四、由此角度看到的数学发展

初等数学来源于生活实践，而近世代数是初等数学问题的进一步抽象，并且很大程度上就是为解决一些初等数学不能解决的问题而产生，比如“群”这个概念，它的引入当初就是为解决高次方程的根的问题。为解决此问题，才构造了“群”这种非常对称、规范的结构。数学即使能抽象和概括很多“一般”，也不能概括所有并不规范和对称的东西，需在发展中适当改良一些条件和结论，所以数域为达到对称的目的，正数有了相对0对称的负数。从数的发展以至新的理论建立，我们可以看到，数学在理论建立之初，也是非常粗燥的，并不是我们今天所看到的全是经典的定义或定理，而是在一系列不严密中发展和完善的。这些发展和完善不仅可以解决原来难以解决的一些理论，并且发展成新的理论，与学生交流这些认识和思想也有助于培养学生的数学素养。

参考文献：

［1］张禾瑞.近世代数基础（修订版）［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］刘绍学.近世代数基础［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［3］杨子胥.近世代数［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］胡万宝，吴琼.群论教学中的对称渗透［J］.安庆师范学院学报（自然科学版），2001，（03）.

基金项目：遵义师范学院校级教研项目资助（2008002）

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